全国高中数学联赛(加试)在知识方面有所扩展，适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加内容是：

1．平面几何

几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理；

三角形旁心、费马点、欧拉线；

几何不等式；

几何极值问题；

几何中的变换：对称、平移、旋转；

圆的幂和根轴：

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2．代数

周期函数，带绝对值的函数；

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数；

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式；

第二数学归纳法；

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数及其应用；

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根；

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*；

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理；

函数迭代，求n次迭代*，简单的函数方程*。

3．初等数论

同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余系，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法*，欧拉定理*，孙子定理*。

4．组合问题

圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式；

组合计数，组合几何；

抽屉原理；

容斥原理；

极端原理；

图论问题；

集合的划分；

覆盖；

平面凸集、凸包及应用*。

(有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。)

注：上述内容摘自《高中数学竞赛大纲》（修订讨论稿），该大纲由中国数学会普及工作委员会制定，并在2006年8月第十四次普及工作会上讨论通过。

高中数学竞赛关于多项式的题

1. 递推公式：a(n+1)=a(n)+3b(n)，b(n+1)=a(n)+b(n)。设a(n)/b(n)=k，则a(n+1)/b(n+1)=(k+3)/(k+1)，直接列式：k=(k+3)/(k+1)，得k=√3，计算机已经验证过，结果无误。证明设p(n)=a(n)/b(n)，则p(n+1)=(p(n)+3)/(p(n)+1)，用不动点法求出(p(n)+√3)/(p(n)-√3)为绝对值递增等比数列即可。

2. q=1/2，分子是14d?，设q=a/b，则说明14b?/(a?+ab+b?)为整数，因为b?和(a?+ab+b?)互质，所以(a?+ab+b?)是14的约数，凑一凑就可以了。

3. 把log2(n)提出来，原式=(n+2)log2(1+2/n)-2(n+1)log2(1+1/n)

=1/ln(2)*((n+2)*(2/n)-2(n+1)(1/n))=0，最后一步是泰勒展开，计算机已经验证过了，结果无误。

4. 归纳法证a(n)<=(n+1)/2，因为a(n)?/n?接近1/4，a(n)逐项增加其实远不到1/2。

5. (1)直接数学归纳法，利用f(x)=x+1/x的增减区间，证明很容易，√(2n+2)-√2n=2/(√(2n+2)+√2n)<2/(2√2n)=1/√2n。(2)反证法，假设存在C，把原式子平方，说明平方每次增加2+1/an^2，而且增加的部分其实>2+1/(2n+C)，级数1/(2n+C)的和是无穷，根本无上界C，直接矛盾。

6. (1)把原递推式展开成(2a(n+1)-7a(n))?=45a(n)?-36，可得a(n+1)?-7a(n+1)a(n)+a(n)?+9=0，可得a(n)=(7a(n+1)-√(45a(n+1)?-36))/2，因此a(n-1)=(7a(n)-√(45a(n)?-36))/2，因此a(n+1)+a(n-1)=7a(n)。(2) 直接配方，a(n+1)a(n)-1=(3a(n)+√(5a(n)?-4))?/4。

7. 直接求数列通项公式，可以证明an+a(n+1)+2为((3+√5)/2)^(n-1)+((3-√5)/2)^(n-1)的平方，平方根的数列通项公式为b(n+1)=3b(n)-b(n-1)。

8. (1)很容易。(2)归纳证明an>n/(n+1)即可，此证明很容易，因为甚至可以估计出1-1/(3n+1)>an>1-1/(3n)。

9. 1-2(x+y)/(1+x)(1+y)=(1-x)(1-y)/(1+x)(1+y)=(1-x)/(1+x)×(1-y)/(1+y)，所以可以看出(1-a(n))/(1+a(n))肯定是个等比数列，后面过程略。

10. 实际上1/a1+1/a2+...+1/an+1/a1a2..an=1，所以an=a1a2..a(n-1)+1，归纳法可证明。

码字辛苦，求加分。

反证法：假设p(x)至少有三个整数根，不妨设为A1，A2,A3.Ai互不相等。又由P（a）=1可设p(x)=(x-a)q(x)+1其中q(x)为整系数多项式

则p(Ai)=0,i=1,2,3 即（Ai-a）q(Ai)=-1故Ai-a=1or-1显然与Ai互不相等矛盾。 补充：严格来说题目应为互不相等的整根。